南十字座β星が見えるか？（その１）

今日は、「薩摩半島から南十字座β星が見えるか？」だ。

　年越し星見で南十字座γ星を撮影した時、１０年以上前に薩摩半島から南十字座β星を撮影できないか検討したことを思い出した。

　当時、西側（右側）のδ星までは撮影できたので、さあ次は左のβ星だということで、すっかり盛り上がった記憶がある。

　下が当時の写真。開聞岳の南側の標高100ｍ地点での撮影。赤い↓はδ星

　で、その時の結論は、平地からは無理だが、開聞岳頂上まで行けば俯角が大きくなり、海面上に出てくるので撮影可能ではないかというものだった。

　それ以来、時間がとれれば、開聞岳に登ってみようかなと思っていたが、その後、全く暇がなくなって１０年以上たってしまっていた。

　そんなことを考えながら、改めて地図を見ていたら、なんと開聞岳の真南には屋久島の最高峰、宮之浦岳が位置していることに気がついた。

　ざっと計算すると、開聞岳頂上からの南の水平線は１００キロちょっと先の海面となるが、ちょうどそこに屋久島があることになり、まずいことになっている。

　それで、一応きちんと計算しようと思いついて、大気中の光の屈折は無視して、直線ベースの簡単な作図をして、俯角を計算する簡易な式を作ってみた。（先々週の話）

　こういうのは１０年に一度くらいしか気にならないので、記録として残しておこう。

　まず、作図した。

 

Ａ山の頂上A点からＢ山の頂上B点への俯角(∠CAB)=θ(ﾗｼﾞｱﾝ)を求める。

撮影地であるＡ山頂上の標高をｈメートル= AE

Ａ山の真南に位置するＢ山頂上の標高をＨメートル = BF

Ａ山とＢ山の緯度差 =φ

（もちろんＡ山は開聞岳、Ｂ山は宮之浦岳のことです。）

地球の半径をＲ（=6,378,000メートル） = OE = OF　とし、

Ｂ山の頂上（点B）から、Ａ山の頂上（点A）と地球中心Oを結んだ直線AOと垂

直な補助線BDを引く。

△ABCにおいて、

tanθ=BC/AC

△ABCは、△BADと相似だから、θ(∠CAB)=∠ABD

tanθ=DA/BD　…　(1)

DA=OA-OD

OA=OE+AE=R+h、

また、△OBDにおいてOD=BOcosφ だから、

DA=(R+h)-(R+H)cosφ  …　(2)

一方、△OBDにおいて、

BD=OBsinφ=(OF+FB)sinφ=(R+H)sinφ  …　(3)

(1)、(2)、(3)より，

 

tanθ=*1 ／ (R×φ+H×φ)

　　ここで、R＞＞＞H、φは微小な角なので、

H×φ=0、H×*2 ／ R×φ

    = (h-H) ／ R×φ　+　(R×(φ^2)/2) ／ R×φ

     =(h-H) ／ R×φ　+　(2×R×(φ^2)/2) ／ 2R×φ

     =(h-H) ／ R×φ　+　(R×(φ^2)) ／ 2R×φ

     =(h-H) ／ R×φ　+　φ／2　

結果、(4)式の近似式は、

∴ θ=(h-H) ／ R×φ　+　φ／2  …(5)　　単位：ﾗｼﾞｱﾝ

使いやすいように角度の分(θ’)  に変換式を作っておくと、

　 θ’=θ×(60×(180/π)) = θ×3437.75

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　π：ﾊﾟｲ

∴ θ’= θ×3437.75　…(6)　　　単位：分

 

ちなみに、Ｂ山がない場合、すなわち海面lineの俯角を求める。

海面lineの俯角は、θ=∠CAF=90°-∠FAO

一方、直角⊿AOFにおいて、φ=180°-90°-∠FAO=90°-∠FAO

したがって、φ=θ、また、H=0なので、それぞれ(5)式に代入すると

 

  θ= h／R×θ　+　θ／2

両辺にθをかけると、

　θ^2= h／R　+　(θ^2)／2

 (θ^2)／2= h／R

　θ^2=2h/R

　∴　θ=√(2h/R) …(7)　　単位:ラジアン

ここも使いやすいように角度の分(θ’)に変換式を作っておくと、

(6)、(7)式から

θ’= √(2h/R)×3437.75

      　 = √(2h/6,378,000m)×3437.75

      　 = √(h×2/6,378000)×3437.75

　　　　 = √(h) ×√(2/6,378000) ×3437.75

　　　　 = √(h) × 1.925

∴　θ’=1.925√(h) …(8)　　　単位：分

うーむ、本当に合っているのか？

特に近似式は自信がない。

 

一応、(4)式は、天文仲間の詳しい方に見てもらっている。

 

ちなみに、その天文仲間からは問い合わせメールをしてから1時間弱で返事が来た。それもエレガントな解き方で、実際の計算結果まで添えられていた。こっちは半日以上かかってやっと(4)式を作るところまでこぎつけたというのに。

さて、あとは実例で計算＆検算(検証)だ。

（続く）

*1:R+h)-(R+H)cosφ)/((R+H)sinφ)

 

ここで、θは微小な角なので、tanθ=θと近似できる。

 

∴ θ=((R+h)-(R+H)cosφ)/((R+H)sinφ) …(4)

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　単位：ﾗｼﾞｱﾝ

どうせエクセルで計算するので、このままでもいいが、以下、近似式を考える。

まず、φも微小な角なので、φ→0 の時の近似式は、

sinφ=φ-(φ^3)/6  + …

cosφ=1-(φ^2)/2 + …

そこで、sinφ=φ、COSφ=1-(φ^2)/2を(4)式に代入すると、

（sinφの近似式の２項目を入れると簡易計算にならないので、無視する。あとで要検証）

∴ θ=((R+h)-(R+H) ×(1-(φ^2)/2)) ／ (R+H)×φ

    = (R+h-R-H+(R×(φ^2)/2)+(H×(φ^2)/2

*2:φ^2)/2) =0と割り切り、近似できるので、

   θ= ((h-H)+(R×(φ^2)/2